Indice General

La capitalización básicamente es la forma de reunir cierto dinero, para los efectos de su estudio y vistas ya diversas metodologías para realizar las cuotas, nos concentraremos en la descripción de dicha forma de ahorrar. Una tabla de capitalización nos muestra periodo a periodo la forma en que con depósitos e intereses vamos reuniendo el capital y normalmente consta de al menos 5 columnas a saber:

n: Corresponde a cada periodo, indica el punto exacto donde termina, por ejemplo n=1 indica que ha transcurrido exactamente un mes desde el inicio del ahorro.

Acumulado: Indica cuanto dinero poseemos en le momento n en el fondo de amortización. Es equivalente al acumulado anterior mas el incremento por concepto de cuota e interés del periodo.

Interés: Es el interés generado en el último periodo, se calcula multiplicando el valor del capital acumulado hasta el periodo inmediatamente anterior por la tasa de interés del periodo (I = Pi).

Depósito: Es el valor de cada uno de los pagos al fondo de capitalización (cuotas) que efectuamos periódicamente.

Incremento: Es el valor que aumenta el fondo en virtud del depósito efectuado y los intereses generados en el periodo.

Indice General

6.1 CAPITALIZACION CON CUOTA UNIFORME

Es un ahorro realizado mediante una serie de cuotas uniformes (anualidad). Para ilustrar las situación, considérese el siguiente ejemplo:

Ejemplo 17

Elaborar una tabla para capitalizar $1'000.000 mediante 8 cuotas iguales mensuales vencidas al 1% mensual.

La tasa nos indica que es efectivo el 1% mensual y la situación puede observarse en la siguiente gráfica:

El valor a capitalizar se distribuye en 8 cuotas iguales (anualidad) luego el valor de cada una de las cuotas puede obtenerse despejando A de la siguiente expresión:

Donde A = $ 120,690.29

Y la respectiva tabla de capitalización sería:

n

Acumulado

Interés

Depósito

Incremento

0

0

0

0

0

1

$ 120,690.29

0

$ 120,690.29

$ 120,690.29

2

$ 242,587.49

$1206.90292

$ 120,690.29

$ 121,897.19

3

$ 365,703.65

$2425.87487

$ 120,690.29

$ 123,116.17

4

$ 490,050.98

$3657.03654

$ 120,690.29

$ 124,347.33

5

$ 615,641.78

$4900.50983

$ 120,690.29

$ 125,590.80

6

$ 742,488.49

$6156.41784

$ 120,690.29

$ 126,846.71

7

$ 870,603.67

$7424.88494

$ 120,690.29

$ 128,115.18

8

$ 1,000,000.00

$8706.03671

$ 120,690.29

$ 129,396.33

Los datos de la tabla se obtienen en la siguiente forma:

n: Corresponde a cada periodo, indica el punto exacto donde termina, por ejemplo n=1 indica que ha transcurrido exactamente un mes desde el inicio de la capitalización. Nótese que en este caso específico no tiene mucho sentido incluir la línea del punto cero ya que las cuotas inician al final del primer periodo y todos los valores en la citada fila por tanto son cero.

Acumulado: Indica cuanto dinero poseemos en le momento n en el fondo de amortización. Es equivalente al acumulado anterior mas el incremento por concepto de cuota e interés del periodo. Por ejemplo el acumulado en 5 ($ 615,641.78) es igual al acumulado en 4 ($ 490,050.98) mas el incremento del periodo 5 ($ 125,590.80)

Interés: Es el interés generado en el último periodo, se calcula multiplicando el valor del capital acumulado hasta el periodo inmediatamente anterior por la tasa de interés del periodo (I = Pi). Por ejemplo el interés en 5 ($4900.5098) es igual al acumulado en 4 ($ 490,050.98) por la tasa de interés del periodo (0.01)

Depósito: Es el valor de cada uno de los pagos al fondo de capitalización (cuotas) que efectuamos periódicamente.

Incremento: Es el valor que aumenta el fondo en virtud del depósito efectuado y los intereses generados en el periodo. Por ejemplo incremento en 5 ($ 125,590.80) es igual interés en 5 ($4900.5098) mas la cuota del periodo ($120,690.29).

Indice General

6.2 CAPITALIZACION CON CUOTAS CRECIENTES Y DECRECIENTES

Es un ahorro efectuado mediante una serie de cuotas que van aumentando o disminuyendo cada periodo (gradiente). Para ilustrar las situación, considérese el siguiente ejemplo:

Ejemplo 18

Elaborar una tabla para capitalizar $1'000.000 mediante 8 pagos vencidos al 1% mensual, cada uno de los cuales es $20.000 mayor que el anterior.

El problema nos refiere un gradiente aritmético de cuotas donde L=$20.000

La tasa nos indica que es efectivo el 1% mensual.

El valor a ahorrar se distribuye en 8 cuotas crecientes (gradiente) luego el valor de cada una de las cuotas puede obtenerse despejando R de la siguiente expresión:

Donde R = $ 51,734.96

Y la respectiva tabla de capitalización sería:

 

n

Acumulado

Interés

Depósito

Incremento

0

0

0.00000

0

0

1

$ 51,734.96

0.00000

$ 51,734.96

$ 51,734.96

2

$ 123,987.28

517.34965

$ 71,734.96

$ 72,252.31

3

$ 216,962.12

1239.87279

$ 91,734.96

$ 92,974.84

4

$ 330,866.70

2169.62117

$ 111,734.96

$ 113,904.59

5

$ 465,910.33

3308.66703

$ 131,734.96

$ 135,043.63

6

$ 622,304.40

4659.10334

$ 151,734.96

$ 156,394.07

7

$ 800,262.41

6223.04402

$ 171,734.96

$ 177,958.01

8

$ 1,000,000.00

8002.62411

$ 191,734.96

$ 199,737.59

Los datos de la tabla se obtienen en la siguiente forma:

n: Corresponde a cada periodo, indica el punto exacto donde termina, por ejemplo n=1 indica que ha transcurrido exactamente un mes desde el inicio de la capitalización. Nótese que en este caso específico no tiene mucho sentido incluir la línea del punto cero ya que las cuotas inician al final del primer periodo y todos los valores en la citada fila por tanto son cero.

Acumulado: Indica cuanto dinero poseemos en le momento n en el fondo de amortización. Es equivalente al acumulado anterior mas el incremento por concepto de cuota e interés del periodo. Por ejemplo el acumulado en 5 ($ 465,910.33) es igual al acumulado en 4 ($ 330,866.70) mas el incremento del periodo 5 ($ 135,043.63)

Interés: Es el interés generado en el último periodo, se calcula multiplicando el valor del capital acumulado hasta el periodo inmediatamente anterior por la tasa de interés del periodo (I = Pi). Por ejemplo el interés en 5 ($3308.66703) es igual al acumulado en 4 ($ 330,866.70) por la tasa de interés del periodo (0.01)

Depósito: Es el valor de cada uno de los pagos al fondo de capitalización (cuotas) que efectuamos periódicamente. En este caso las cuotas cada mes crecen $20.000.

Incremento: Es el valor que aumenta el fondo en virtud del depósito efectuado y los intereses generados en el periodo. Por ejemplo incremento en 5 ($ 135,043.63) es igual interés en 5 ($3308.66703) mas la cuota del periodo ($ 131,734.96 ).

Indice General

6.3 DISTRIBUCION DE UNA CUOTA

Distribución de una cuota es la descripción de sus componentes, es decir que parte corresponde a interés, cual al abono como tal y adicionalmente indicar el acumulado a la fecha. Tal como se puede apreciar en las tablas de capitalización, esta información corresponde a los ítems planteados para cada periodo en cada línea de la tabla. La distribución de una cuota involucra por tanto el siguiente procedimiento:

a. Determinación de la cuota del respectivo periodo.

b. Determinación del acumulado del periodo anterior para con él determinar el interés generado en el periodo.

c. Determinación del incremento y nuevo acumulado.

 

Ejemplo 19

Estoy reuniendo la suma de $43'000.000 mediante una serie de 180 cuotas mensuales que cada mes crecen un 0.8%. Determinar la distribución de la cuota 127 si la tasa del fondo es del 11% CM

Tasa de interés: i = J/m = 0.11/12 = 0.0091

La primera cuota de la capitalización se puede calcular despejando R de la siguiente expresión:

Donde R = $ 51,643.40

Calculo del pago 127:

R127 = R1(1+G)n-1

R127 = 51,643.40 (1+0.008)127-1

R127 = $ 140,942.48

b. Determinación del acumulado del periodo anterior para con él determinar el interés generado en el periodo:

El acumulado en 126 esta dado por el futuro de las cuotas que se han efectuado, es decir de las cuotas 126 realizadas estará dado por la expresión:

Donde R = $ 51,643.40 y n = 126

Por tanto F = $ 18,955,447.06

El interés generado en el periodo 127 sería I = P(i) :

I = $ 18,955,447.06 (0.0091) = $ 173,758.26

c. Determinación del incremento y nuevo acumulado.

El incremento es el valor de la cuota mas el interés generado en el periodo

Incremento = $ 140,942.48 + $ 173,758.26 = $ 314,700.74

El nuevo acumulado será el acumulado anterior (en 126) mas el incremento:

Acumulado = $ 18,955,447.06 + $ 314,700.74 = $ 19,270,147.80

Y la distribución de la cuota quedará así:

 

n

Acumulado

Interés

Depósito

Incremento

126

$ 18,955,447.06

$ 170,909.87

$ 139,823.89

$ 310,733.76

127

$ 19,270,147.80

$ 173,758.26

$ 140,942.48

$ 314,700.74

Nótese que realmente no fue necesario elaborar toda la tabla, aún cuando esto es un juego de niños con una hoja de cálculo (ver hoja de cálculo Ejemplo 19).

Indice General | Ejercicios

Tasas de Interés | Anualidades | Gradientes | Gradientes Escalonados | Amortización | Capitalización