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Los gradientes escalonados son la forma más común de encontrar gradientes en medios inflacionarios o devaluativos, básicamente consisten en series de pagos uniformes por lapsos de tiempo, luego de cada uno de los cuales, la serie se afecta con incremento o reducción para el siguiente periodo. Un caso típico puede estar dado por una serie de pagos que son constantes (de igual valor) durante el año y que cada nuevo año se incrementan. Si el incremento está dado por una misma cantidad, el gradiente será aritmético; si el incremento está dado por un porcentaje el gradiente será geométrico.

 

4.1 GRADIENTES ARITMETICOS ESCALONADOS

Para estudiar el caso del gradiente aritmético escalonado, pensemos en una serie de pagos que se realizan mensualmente iniciando con cuotas de valor R y que cada año se incrementan en un valor L, la siguiente figura ilustra la situación:

En la figura se pueden apreciar sobre la línea de tiempo conteos en meses y en años, nótese que en general, las cuotas se mantienen constantes durante cada año y que solamente a partir de la primera cuota del año siguiente se realiza incremento y dicho valor (cuota mas incremento) se mantiene constante durante todo el nuevo año en la forma que se comporta una anualidad de 12 periodos. Basándonos en este comportamiento es posible simplificar nuestro gráfico, hallando los futuros equivalentes de las anualidades de R y de L, a los cuales llamaremos por mnemotécnico FR y FL como se observa enseguida:

Dado que el futuro de una anualidad esta establecido por la relación:

Tendríamos que FR y FL serían, calculados a una tasa im (mensual) dada su periodicidad así:

Nota: Si los pagos no son mensuales, n e i deberán corresponder a la periodicidad que se plantee.

Con estos valores de FR y FL es posible crear nuestro nuevo gráfico del gradiente escalonado, el cual se vería aproximadamente así:

Donde es fácilmente reconocible un gradiente de n/12 periodos, con cuotas que inician en 1 con valor FR y que cada periodo se incrementan en FL. Nótese ahora la razón por la cual se escogió el valor futuro en el cálculo de FR y FL como equivalentes de las respectivas series, ya que de no haber sido así, no hubiésemos obtenido los equivalentes al final de cada periodo sino al principio (si se hubiera escogido presente de una anualidad) lo que hubiera dificultado la utilización de las expresiones previamente determinadas de valor presente y futuro así:

Valor presente

Que para el gradiente aritmético escalonado se transforma en:

Es muy importante recordar que en esta última expresión (la de gradiente escalonado) el conteo de periodos n se realiza en años y la tasa a usar por tanto será la anual (ia).

Valor futuro

Que para el gradiente aritmético escalonado se transforma en:

Nuevamente se recuerda que en esta última expresión (la de gradiente escalonado) el conteo de periodos n se realiza en años y la tasa a usar por tanto será la anual (ia).

Nota: Si los escalones no son anuales (por ejemplo semestrales), n e i deberán corresponder a la periodicidad que se plantee.

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4.2 GRADIENTES GEOMETRICOS ESCALONADOS

Para estudiar el caso del gradiente geométrico escalonado, pensemos en una serie de pagos que se realizan mensualmente iniciando con cuotas de valor R y que cada año se incrementan en un porcentaje G, la siguiente figura ilustra la situación:

En la figura se pueden apreciar sobre la línea de tiempo conteos en meses y en años, nótese que en general, las cuotas se mantienen constantes durante cada año y que solamente a partir de la primera cuota del año siguiente se realiza incremento y dicho valor (cuota mas incremento) se mantiene constante durante todo el nuevo año en la forma que se comporta una anualidad de 12 periodos. Basándonos en este comportamiento es posible simplificar nuestro gráfico, hallando el futuro equivalente de la anualidad de R a la cual llamaremos por mnemotécnico FR como se observa enseguida:

Dado que el futuro de una anualidad esta establecido por la relación:

Tendríamos que FR sería, calculado a una tasa im (mensual) dada su periodicidad así:

Nota: Si los pagos no son mensuales, n e i deberán corresponder a la periodicidad que se plantee.

Con este valor de FR es posible crear nuestro nuevo gráfico del gradiente escalonado, el cual se vería aproximadamente así:

Donde es fácilmente reconocible un gradiente de n/12 periodos, con cuotas que inician en 1 con valor FR y que cada periodo se incrementan un porcentaje G. Obsérvese que no fue necesario obtener una expresión equivalente al futuro del incremento, ya que el porcentaje de una suma seria igual a la suma de los porcentajes (revise la demostración de futuro de una anualidad y piense que (1+G) se factoriza junto con A). Nótese ahora la razón por la cual se escogió el valor futuro en el cálculo de FR como equivalente de la respectiva serie, ya que de no haber sido así, no hubiésemos obtenido el equivalente al final de cada periodo sino al principio (si se hubiera escogido presente de una anualidad) lo que hubiera dificultado la utilización de las expresiones previamente determinadas de valor presente y futuro así:

Valor presente

Que para el gradiente geométrico escalonado se transforma en:

Es muy importante recordar que en esta última expresión (la de gradiente escalonado) el conteo de periodos n se realiza en años y la tasa a usar por tanto será la anual (ia).

Valor futuro

Que para el gradiente geométrico escalonado se transforma en:

Nuevamente se recuerda que en esta última expresión (la de gradiente escalonado) el conteo de periodos n se realiza en años y la tasa a usar por tanto será la anual (ia).

Nota: Si los escalones no son anuales (por ejemplo semestrales), n e i deberán corresponder a la periodicidad que se plantee.

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