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3.1 GENERALIDADES

Un gradiente básicamente consiste en una serie de pagos periódicos que varían (crecen o disminuyen) de uno a otro en la misma forma y que cumplen con las siguientes condiciones:

  1. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
  2. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés
  3. El numero de pagos es igual al numero de periodos
  4. Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales o anuales Etc.
  5. Las variaciones se empiezan a presentar a partir del segundo pago.

Si cada pago crece o disminuye respecto al anterior en una misma cantidad se denomina a la serie gradiente lineal o aritmético (lo llamaremos aritmético). Si cada pago crece o disminuye respecto al anterior en un mismo porcentaje se denomina a la serie gradiente geométrico.

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3.2 GRADIENTES ARITMETICOS

Tal como lo mencionamos son series periódicas de pagos que varían de uno a otro en una misma cantidad que para nuestro caso llamaremos L; si L es positiva el gradiente será creciente, por el contrario si L es negativo el gradiente será decreciente. Un típico gradiente puede apreciarse en la siguiente figura:

Estos gradientes para efectos de simplificar el diagrama de caja los representaremos así:

Tal como se puede apreciar, los pagos cumplen con la siguiente ley de formación:

Periodo

Pago

Incremento

0

Ninguno

Ninguno

1

R

Ninguno

2

R+L

L

3

R+2L

L

4

R+3L

L

:

:

:

:

:

:

n

R+(n-1)L

L

 

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3.3 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMETICO

Para hallar el valor presente, bastara con trasladar todos los pagos a cero (tomando 0 como fecha focal) utilizando la siguiente expresión:

P = F(1+i)-n

La ecuación quedará como sigue:

P = R(1+i)-1 + (R+L)(1+i)-2 + (R+2L)(1+i)-3 + ... + (R+(n-1)L)(1+i)-n

Multiplicando para separar los términos en R de los términos en L

P = R(1+i)-1 + R(1+i)-2 + R(1+i)-3 + ... + R(1+i)-n + L(1+i)-2 + 2L(1+i)-3 + ... + (n-1)L(1+i)-n

Ahora bien, analicemos los términos a los que hemos llamado W:

Ecuación 1

W = (1+i)-2 + 2(1+i)-3 + 3(1+i)-4 +... + (n-1)(1+i)-n

Multiplicando la anterior ecuación por (1+i) obtenemos:

Ecuación 2

W(1+i) = (1+i)-1 + 2(1+i)-2 + 3(1+i)-3 +... + (n-1)(1+i)-(n-1)

Si restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 (ecuación 2 menos la 1) se eliminan los coeficientes quedando solo el del último término de la primera ecuación y obtenemos:

W(1+i) - W = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) - (n-1)(1+i)-n

Efectuando los productos del primero y último factor:

W +Wi - W = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) - n(1+i)-n + (1+i)-n

Simplificando y colocando en su lugar el último término:

Wi = (1+i)-1 + (1+i)-2 + (1+i)-3 +... + (1+i)-(n-1) + (1+i)-n - n(1+i)-n

Donde nuevamente podemos reconocer los términos de la serie de presente de una anualidad, así que podemos escribir la ecuación como:

Y si sustituimos el valor de W en la ecuación de valor presente tendremos:

 

Ejemplo 10

¿Cuanto cuesta un equipo que se paga mediante una serie de 6 pagos que inician en $80.000 y que cada mes crecen $20.000 si se realizan a una tasa de interés del 24% CM?

Ante todo, hallamos la tasa efectiva y trazamos nuestro diagrama de caja:

i = J/m = 0.24/12 = 0.02

La serie de pagos establece el siguiente diagrama de caja:

 

Donde el valor de P (o sea el costo hoy del equipo) se establece mediante la siguiente expresión:

Se sabe que el efectuar estas operaciones de aritmética barata, será parte de los pasatiempos del amable lector en compañía de su fiel amiga, la hoja de cálculo.

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3.4 VALOR FUTURO DE UN GRADIENTE ARITMETICO

Para hallar el valor futuro de un gradiente aritmético, basta multiplicar la expresión de valor presente por el término (1+i)n de manera análoga a como lo hicimos con las anualidades y quedará:

F = P(1+i)n

Luego:

Que al efectuar las diversas multiplicaciones transforma la expresión a:

Nótese nuevamente en la siguiente gráfica que el sector resaltado (en amarillo) representa una anualidad de cuotas R y que aparece como primer término de la expresión de futuro del gradiente aritmético.

Ejemplo 11

¿Cuanto reuniré mediante una serie de 6 depósitos que inician en $80.000 y que cada mes crecen $20.000 si los realizo en una institución financiera que paga una tasa de interés del 24% CM?

Ante todo, hallamos la tasa efectiva y trazamos nuestro diagrama de caja:

i = J/m = 0.24/12 = 0.02

La serie de pagos establece el siguiente diagrama de caja:

Donde el valor de F (o sea el dinero que reuniré) se establece mediante la siguiente expresión:

No entiendo que espera el lector para realizar los cálculos...

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3.5 GRADIENTE ARITMETICO INFINITO

De manera análoga a lo descrito en el apartado de anualidades, solo tiene sentido determinar el valor presente, puesto que si el gradiente es infinito no es posible determinar el punto n para saber donde le quedaría el futuro. Para hallar el valor presente del gradiente aritmético infinito, hallamos el límite de la expresión de presente (P) cuando n tiende a infinito:

Que es la expresión que nos lleva al valor presente de un gradiente aritmético infinito.

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3.6 GRADIENTES GEOMETRICOS

Tal como lo mencionamos son series periódicas de pagos que varían de uno a otro en un mismo porcentaje que para nuestro caso llamaremos G; si G es positivo el gradiente será creciente, por el contrario si G es negativo el gradiente será decreciente. Un típico gradiente geométrico puede apreciarse en la siguiente figura:

En la gráfica (a escala) se puede apreciar que el incremento en la cuota o pago según sea el caso, varia de un pago a otro. Estos gradientes para efectos de simplificar el diagrama de caja deberían ser representados representaremos así:

Sin embargo dibujar las curvas puede ser tedioso para el amable lector, por tanto lo que si se le recomienda es que no olvide como son los pagos. Tal como se dijo al comienzo de la sección, los pagos cumplen con la siguiente ley de formación:

Periodo

Pago

Incremento

0

Ninguno

Ninguno

1

R

Ninguno

2

R(1+G)1

(R)G

3

R(1+G)2

(R(1+G)1)G

4

R(1+G)3

(R(1+G)2)G

:

:

:

:

:

:

n

R(1+G)n-1

(R(1+G)n-2)G

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3.7 VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMETRICO

Como de costumbre, para hallar el valor presente de cualquier serie, bastará con trasladar todos los flujos al punto cero así:

Ecuación 1

P = R(1+i)-1 + R(1+G)(1+i)-2 + R(1+G)2 (1+i)-3 + ... + R(1+G)n-1 (1+i)-n

Para eliminar la sucesión, buscamos un término que al ser multiplicado por el primer término de la sucesión nos de el segundo y así sucesivamente; el término será (1+G)(1+i)-1 y al efectuar la multiplicación obtenemos:

Ecuación 2

P(1+G)(1+i)-1 = R(1+G)(1+i)-2 + R(1+G)2 (1+i)-3 + R(1+G)3 (1+i)-4 +... + R(1+G)n (1+i)-n-1

Restando la ecuación 1 de la ecuación 2 (ecuación 2 menos ecuación 1) obtenemos:

P(1+G)(1+i)-1 - P = R(1+G)n (1+i)-n-1 - R(1+i)-1

Factorizando P a la izquierda y R(1+i)-1 a la derecha:

Sin embargo esta expresión de presente (P) hallada solo es valida si G es diferente de i, en caso de no ser así se presenta indeterminación que puede ser solucionada utilizando la regla de L'Hospital y derivando con respecto a G:

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3.8 VALOR FINAL DE UN GRADIENTE GEOMETRICO

Para hallar el valor futuro de un gradiente geométrico, basta multiplicar las expresiones de valor presente por el término (1+i)n de manera análoga a como lo hemos hecho en otros casos y quedará:

Cuando G sea diferente de i tenemos:

Y en el caso de que G sea igual a i tendremos:

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3.9 GRADIENTE GEOMETRICO INFINITO

Solo tiene sentido determinar el valor presente, puesto que si el gradiente es infinito no es posible determinar el punto n para saber donde le quedaría el futuro. Para hallar el valor presente del gradiente geométrico infinito, hallamos el límite de la expresión de presente (P) cuando n tiende a infinito:

En el caso que G sea diferente de i:

En este límite es interesante analizar el siguiente término:

Si G es mayor que i, el numerador se vuelve mayor que el denominador, la fracción por tanto será mayor que 1 y por ende, elevado a la potencia n tendería a infinito, matemáticamente hablando; sin embargo, analizando que G es el porcentaje de incremento y que i es la tasa de interés, se puede observar que si G>i sería necesario un presente infinito para lograr (teóricamente) incrementos en el pago mayores que el rendimiento de la inversión a la tasa i.

Si G es menor que i, el numerador se vuelve menor que el denominador, la fracción por tanto será menor que 1 y por ende, elevado a la potencia n tendería a 0, matemáticamente hablando; sin embargo, analizando que G es el porcentaje de incremento y que i es la tasa de interés, se puede observar que si G<i es posible con los rendimientos de la inversión P a la tasa i efectuar pagos que se incrementan en un porcentaje G. Ahora bien si G es menor que i tendremos:

En el caso que G sea igual de i debe evaluarse el presente con la expresión P = Rn(1+i)-1 donde es fácil notar que cuando n tiende a infinito el valor presente también será infinito.

Recapitulando, solo será posible determinar el valor presente de un gradiente geométrico infinito cuando G (el porcentaje de incremento) sea menor que i (la tasa de interés a la cual se realiza la inversión).

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