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2.1 RENTA

Cada pago periódico de igual valor que pertenece a una serie uniforme.

 

2.2 PERIODO DE RENTA

Es el tiempo que transcurre entre dos pagos periódicos consecutivos.

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2.3 ANUALIDAD

Una anualidad es una serie de pagos que cumplen con las siguientes condiciones:

  1. Todos los pagos son de igual valor

  2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo

  3. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés

  4. El numero de pagos es igual al numero de periodos

  5. Los pagos pueden ser trimestrales, semestrales o anuales Etc. y sin embargo a la serie se le sigue denominando anualidad .

La siguiente gráfica ilustra una anualidad de 6 pagos:

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2.4 TIPOS DE ANUALIDADES

2.4.1 Ordinaria o vencida: Es aquella en la que los pagos se efectúan al final de cada periodo.

2.4.2 Anticipada: Es aquella en la que los pagos se efectúan al comienzo de cada periodo

2.4.3 Diferida: Es aquella en la que los pagos se comienzan a realizar luego de transcurrido cierto tiempo o cierto número de periodos.

2.4.4 Perpetua o infinita: Es aquella en la que los pagos no tienen fin.

2.4.5 Cierta: Es aquella en la que se conoce el número de periodos, cuando inicia y cuando termina.

2.4.6 Contingente: Es aquella en la que su inicio o terminación dependen de la ocurrencia de determinado evento y que por tanto no se conoce su número de periodos.

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2.5 VALOR FINAL UNA ANUALIDAD

Sea una serie de n pagos periódicos, iguales de valor A, el primero de los cuales se efectúa al finalizar el primer periodo y el último de los mismos se realiza al finalizar el periodo n tal como se observa en la siguiente gráfica:

Para hallar el valor futuro de la serie descrita, trasladamos cada uno de los pagos hasta n, comenzando desde el último que ya se encuentra allí y terminando con el primero (el efectuado en 1) que se encuentra a n-1 periodos de n así:

Ecuación 1

F = A+ A( 1+ i )1 + A( 1+ i )2 +A( 1+ i )3 +……….+A( 1+ i )n-1

Para eliminar la sucesión buscamos una expresión que al ser multiplicada por el primer término nos de el segundo término y así sucesivamente para poder realizar una resta de ecuaciones, el término en este caso es: (1+i)

Multiplicamos la ecuación 1 por (1+i)

Ecuación 2

F(1+i) = A( 1+ i )1 + A( 1+ i )2 +A( 1+ i )3 +……….+A( 1+ i )n-1+A( 1+ i )n

Restamos la ecuación 1 de la ecuación 2 (ecuación 2 menos la 1) de manera que los términos A( 1+ i )1 + A(1+ i )2 +A( 1+ i )3 +……….+A( 1+ i )n-1 son eliminados quedando solamente:

De donde finalmente se obtiene la expresión:

Esta expresión de valor futuro de una anualidad también es llamada por algunos Factor monto, es común utilizar la siguiente notación para indicar el valor futuro de una anualidad:

F = A(F/A;i;n)

En forma adicional, es muy importante tener en cuenta que el valor futuro queda exactamente en el periodo n

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2.6 VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD

Para hallar el valor presente, podría seguirse un procedimiento similar al, realizado para el valor final, sin embargo resulta mas fácil trasladar el valor futuro a presente multiplicándolo por ( 1+ i )-n así:

P = F( 1+ i )-n

Nótese que el valor presente queda exactamente en el punto 0, un periodo antes (no un mes antes) de la primera cuota.

Es común en forma análoga al caso de valor futuro, escribir la siguiente notación para indicar el valor presente de una anualidad:

P = A(P/A;i;n)

Ejemplo 8

Dentro de 1 mes deposito la primera de 100 cuotas de $10.000 en una institución que me paga el 14% capitalizable mensualmente. ¿ Cuanto tendré luego de realizar el ultimo deposito?

La situación se plantea fácilmente de acuerdo con la siguiente gráfica:

Considerando que la tasa es nominal, inicialmente hallamos la efectiva mensual así:

i = J/m

i = 0.14/12

i = 0.0116

Y ahora si calculamos F

F=$1'869.574,90

 

Ejemplo 9

Abro mi cuenta de ahorros hoy depositando una cantidad X, dentro de 5 meses empiezo una serie de 10 consignaciones mensuales de $250.000. Dentro de 2 años contados a partir del hoy iré al banco y retirare todo mi dinero y me entregaran $4'000.000

¿Cuánto consigne hoy si la tasa de interés que me paga el banco es del 1.05% mensual .?

Hallamos el presente de la anualidad, el cual estará ubicado un periodo antes de la primera cuota de la misma (en 4):

P=$2'361.487,75

Ahora planteamos nuevamente nuestra gráfica substituyendo la anualidad por su valor presente en el sitio adecuado:

Nos resta trasladar todos los flujos a un solo sitio y de esta forma plantear la ecuación de valor.

Utilizando como punto focal 0 llevando todos los flujos a presente mediante P=F( 1+ i )-n ya que los flujos que no están en cero son futuros a él:

Ingresos = Egresos

$4'000.000( 1+ i )-24 = X + $2'361.487,75( 1+ i )-4

X = $4'000.000( 1+ 0.0105 )-24 - $2'361.487,75( 1+ 0.0105)-4

X = $ 848.211,13

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2.7 VALOR PRESENTE DE ANUALIDADES INFINITAS

En las anualidades infinitas o perpetuas, solamente tiene sentido hablar de valor presente dado que en ellas el n que indica el sitio del valor futuro no existe puesto que tiende a infinito.

Para hallar el valor presente, basta calcular el límite cuando n tiende a infinito (positivo) del factor dado en la siguiente expresión:

El límite se calcula a continuación:

Al reemplazar obtenemos:

P=A(1/i)

P=A/i

La respuesta obtenida para el valor presente pudo hallarse más fácilmente si hubiésemos analizado como se puede obtener una renta infinita a partir de una inversión P; pues la renta serian los intereses y en tal caso, si como renta solo obtenemos los intereses es valido anotar lo siguiente:

A = I

Recuérdese que I = Pi, luego:

A = Pi

Y finalmente, despejando P obtenemos:

P=A/i

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