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1.1 INTERES

Como interés designaremos el dinero ganado por invertir o prestar una determinada cantidad durante cierto tiempo. Existen diversos casos y acepciones, es como un arriendo o alquiler que se hace al dinero. El propietario del dinero o capitalista, por colocar su dinero, invertirlo o prestarlo espera una ganancia, esta ganancia o cambio de valor se denomina interés. El interés es directamente proporcional a la cantidad invertida, el tiempo transcurrido y la tasa de interés; es decir a mayor cantidad, tasa o tiempo mayor es el interés. La figura 1 ilustra la situación.

Si invierto (egreso) una determinada suma de dinero hoy (P) a una tasa de interés (i) luego de cierto o ciertos (n) periodos de tiempo obtendré (ingreso) una cantidad futura (F) equivalente a lo invertido mas el interés generado (P+I).

Notación:

P = Presente

i = Tasa de interés

I = Interés

n = Periodos de tiempo

F = Futuro

Los egresos normalmente los representaremos como un vector hacia abajo y los ingresos como un vector hacia arriba, sin embargo esto es mera formalidad. Lo que no es formalidad es que el diagrama debe ser contrario para quien recibe la inversión. Este tipo de diagrama se denomina diagrama de caja o diagrama de flujos de caja.

En la línea horizontal se representa el tiempo en periodos para los cuales se ha pactado una determinada tasa de interés, ya sean meses si el interés es mensual, trimestres si el interés es trimestral y así sucesivamente.

Ahora bien, el interés se obtiene al multiplicar el capital invertido por el valor decimal de la tasa de interés como se observa en el ejemplo siguiente:

 

Ejemplo 1

Invierto $2.000.000 durante un año al 17% anual. Calcular el interés generado y la cantidad obtenida luego de un año.

La figura 2 ilustra la situación:

I = (P)(i) = (2.000.000)(0.17) = 340.000

F = P+I = 2.340.000

Como puede observarse, aunque el diagrama de caja es bastante elemental, se recomienda la metodología de realizarlo siempre.

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1.2 INTERES SIMPLE

La modalidad de interés simple implica que el capital invertido genera interés, pero aunque el mismo se acumule al capital para nuevos periodos, solo se pagará interés sobre el capital invertido; es decir, no se genera interés o rendimiento sobre los intereses. De esta manera, el valor final (F) o monto resultante de invertir una determinada cantidad (P) a una tasa de interés (i) durante cierto número (n) de periodos es:

I = (P)(n)(i)

F = P+I

F = P+(P)(n)(i)

F = P(1+ni)

Es evidente que de la citada expresión pueden ser despejados los valores de las variables que sean requeridos.

 

Ejemplo 2

Se invierten $2.000.000 al 5% mensual. ¿Cuál será el monto al final de 8 meses?

Planteado como se puede observar en la figura 3, la solución se torna evidente:

F = P(1+ni)

F = 2.000.000(1+(8)(0.05))

F = 2.800.000

Lo que es igual a P+I, en donde I es igual a ocho pagos del 5% de 2.000.000

2.000.000 + (8)(0.05)(2.000.000)

2.000.000 + 800.000 = 2.800.000

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1.3 INTERES COMPUESTO

De manera contraria a lo especificado para el interés simple, en el interés compuesto se abonan los intereses cada que son generados al capital invertido y el nuevo interés se calcula sobre este nuevo total. Nótese que para el citado caso y mientras no se diga lo contrario se supondrá que los intereses se pagan al final de cada periodo. Así las cosas, tendremos que por ejemplo, si se invierte una suma P durante n periodos a una tasa de interés i el monto será:

Para el primer periodo:

F = P+I = P+Pi = P(1+i)

Para el segundo periodo el valor inicial será P(1+i) y sobre este valor se calculará el nuevo interés así:

I = (P(1+i))(i)

F = P(1+i) + (P(1+i))(i) = P(1+i)(1+i) = P(1+i)2

Para el tercer periodo el valor inicial será P(1+i)2 y sobre este valor se calculará el nuevo interés y valor futuro correspondiente:

I = (P(1+i)2)(i)

F = P(1+i)2 + (P(1+i)2)(i) = P(1+i)2(1+i) = P(1+i)3

De lo anterior se puede deducir por inducción que el valor final (futuro) luego de n periodos será:

F = P(1+i)n

La situación se ilustra de manera detallada en la siguiente tabla:

Periodo

Capital inicial

Interés

Capital final

1

P

Pi

F1 = P + Pi = P(1+i)

2

P(1+i)

P(1+i)i

F2 = P(1+i)+P(1+i)i = P(1+i)2

3

P(1+i)2

P(1+i)2i

F3 = P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)3

4

P(1+i)3

P(1+i)3i

F4 = P(1+i)3 + P(1+i)3i = P(1+i)4

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

:

n

P(1+i)n-1

P(1+i)n-1i

Fn = P(1+i)n-1 + P(1+i)n-1i = P(1+i)n

La siguiente tabla ilustra la situación para un capital de $1'000.000 al 3% durante 4 periodos:

Periodo

Capital inicial

Interés

Capital final

1

$1'000.000

$30.000

$1'030.000

2

$1'030.000

$30.900

$1'060.900

3

$1'060.900

$31.827

$1'092.727

4

$1'092.727

$32.781,81

$1'125.508,81

 

Ejemplo 3

Se invierte $1.000.000 al 3% mensual durante 5 meses. ¿Cuál será el monto de la inversión?

F = 1.000.000(1+0.03)5

F = 1.159.274,07

Ejemplo 4

¿Cuánto tiempo tardan $2.000.000 en convertirse en $2.500.000 al 5% mensual?

Decir n = 4.57 meses, implica que matemáticamente es el mínimo tiempo requerido para obtener el citado dinero, sin embargo, como los intereses se pagan a final de periodo y por periodos completos, el tiempo necesario será de 5 meses.

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1.4 INTERES VENCIDO

La modalidad de efectuar el pago de interés una vez ha transcurrido el tiempo se denomina interés vencido, tal como ha sido visto hasta el momento el valor futuro F es igual al valor presente P mas el interés I. Debe tenerse en cuenta adicionalmente que el interés I es igual a el valor presente multiplicado por la tasa de interés i, es decir el interés se calcula sobre el valor inicial.

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1.5 INTERES ANTICIPADO

Para el caso del interés anticipado, el interés es cobrado en el momento de realizar el desembolso. Si por ejemplo solicito prestados $1000 y tengo que pagar el 10% entonces solo recibiré $900 y finalmente tendré que pagar $1000. Nótese que en este caso el interés se calcula sobre el valor final que es la suma que debo pagar.

No se trata ahora de deducir un nuevo set de fórmulas para el caso del interés anticipado, la forma mas simple de trabajo será deducir una equivalencia entre el interés vencido y el anticipado y cuando tengamos una tasa de interés anticipado simplemente realizamos la conversión y trabajamos normalmente.

Sea d la tasa de interés anticipado:

 

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1.6 INTERES EFECTIVO

Es el interés que efectivamente se paga, es el que hasta el momento hemos utilizado en la expresión :

F = P(1+i)n

En otras palabras es la tasa de interés que efectivamente se aplica al capital en cada periodo.

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1.7 INTERES NOMINAL

Es un interés de nombre cuya función básicamente se extiende a la determinación de un estándar mental de comparación, sin embargo no es aplicable directamente a las formulaciones de cambio del valor del dinero en el tiempo.

¿Será lo mismo un 24% anual, si el interés se paga cada mes, que si se paga bimestralmente, trimestralmente o semestralmente? Para contestar la pregunta supongamos una inversión inicial de $1'000.000 durante un año así:

Que dependiendo de la periodicidad del pago de interés se comportará así:

Nominal

Periodo

Efectivo

Relación

Interés

Capital final

24% CM

Mes

2%

F = P(1+.02)12

$ 268,241,79

$ 1'268,241,79

24% CB

Bimestre

4%

F = P(1+.04)6

$ 265.319,01

$ 1'265.319,01

24% CT

Trimestre

6%

F = P(1+.06)4

$ 262.476,96

$ 1'262.476,96

24% CS

Semestre

12%

F = P(1+.12)2

$ 254.400,00

$ 1'254.400,00

En la tabla es fácil observar:

a. Que no es lo mismo un 24% anual, si el interés se paga cada mes, que si se paga bimestralmente, trimestralmente o semestralmente.

b. Que entre mas veces se realicen capitalizaciones (pagos de interés) mayor será el valor final de nuestra inversión.

c. Que aquello de 24% es solo de nombre y no corresponde a la realidad del año pues lo que finalmente se obtuvo fue:

Nominal

Periodo

Efectivo Anual

Interés en al año

24% CM

Mes

26,8241%

$ 268,241,79

24% CB

Bimestre

26,5319%

$ 265.319,01

24% CT

Trimestre

26,2476%

$ 262.476,96

24% CS

Semestre

25,4400%

$ 254.400,00

d. Que 24%CM (capitalizable o convertible o pagadero mensualmente) es diferente a 24% CB y diferente a 24% CT y diferente a 24% CS.

e. Que la CM, CB, CT o CS son siglas que significan capitalizable o convertible o pagadero y el periodo de pago y que nos indican que la tasa es nominal y no debe ser usada directamente.

f. Que la tasa que efectivamente es aplicada es el resultado de dividir la tasa nominal entre el número de periodos de capitalización que tiene el año (normalmente). Sea J la tasa nominal, i la tasa efectiva y m el número de periodos de capitalización (pago de interés) que tiene el año; se cumple la siguiente expresión:

i = J/m

De donde se obtiene:

J = (i)(m)

g. Que existen tasas anuales equivalentes a las aplicadas para los periodos.

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1.8 TASAS EQUIVALENTES

Aunque ya hemos inducido un poco el tema de la equivalencia de tasas, diremos que dos tasas con diferentes periodos de capitalización son equivalentes si al invertir una misma cantidad luego de un mismo lapso de tiempo se produce la misma rentabilidad y por ende el mismo valor futuro.

Considérense pues dos tasas ix e iy con diferentes periodos de capitalización en el año nx y ny respectivamente. Es posible plantear las siguientes ecuaciones:

1. F = P(1+ ix)nx

2. F = P(1+ iy)ny

Dado que F de la primera es igual al F de la segunda obtenemos:

P(1+ iy)ny = P(1+ ix)nx

En donde al dividir por P se obtiene:

(1+ iy)ny = (1+ ix)nx

Nótese que nx es igual en tiempo a ny

 

Ejemplo 5

Que tasa trimestral es equivalente al 2% mensual.

(1+ im)12 = (1+ it)4

(1+ 0.02)12 = (1+ it)4

De donde

it = ((1+ 0.02) 12/4 ) -1

it = ((1+ 0.02) 3 ) -1

it = 1.061208 - 1 = 0.061208 = 6.1208%

Nótese que la tasa obtenida es ligeramente superior a 3 veces la tasa mensual, lo cual era de esperarse y representa la capitalización de los intereses en cada uno de los meses que integran el trimestre.

Entre los millones formas de solucionar el problema anterior (sin ser exagerados, ya les he dicho...) destaquemos las siguientes:

Mensualmente: (1+ 0.02)1 = (1+ it)1/3

Trimestralmente: (1+ 0.02)3 = (1+ it)

Semestralmente: (1+ 0.02)6 = (1+ it)2

Anualmente: (1+ 0.02)12 = (1+ it)4

Otra: (1+ 0.02)15 = (1+ it)5 ya que 15 meses son iguales a 5 trimestres

Recuerde: Es fundamental involucrar un mismo periodo de tiempo a ambos lados de la ecuación.

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1.9 INFLACION

Como consecuencia del aumento general de precios, se establece que la inflación es la pérdida del poder adquisitivo de una moneda a medida que pasa el tiempo. Puede establecerse como una tasa anual (normalmente el gobierno publica este indicador) que se debiera considerar en la toma de decisiones sobre la renta de cualquier inversión.

El fenómeno inflacionario se presenta normalmente en todos los países, pero con diferente intensidad variando de acuerdo a entre otras las siguientes causas generadoras:

a. Incremento del circulante, dado normalmente por políticas estatales en el ámbito salarial u otros. Puede adicionalmente ser consecuencia de entrada ilegal de divisas.

b. Generación de mayor demanda de bienes y servicios, normal en cualquier país por el simple crecimiento de su población y/o acceso a nuevas o existentes tecnologías y comodidades. Este aumento de demanda también puede ser un efecto del inciso anterior.

c. Disminución o estancamiento de la oferta, causado por el bajo crecimiento de la industria y la desactualización de los modelos productivos.

d. Especulación en el mercado interno.

e. Devaluación de la moneda del país y/o franjas cambiarias reguladas gubernamentalmente que no reflejan la realidad de la relación oferta - demanda.

Es posible y de hecho en algunos países se generan paralelamente a la inflación fenómenos de tipo recesivo que limitan o impiden el crecimiento de la misma y no faltan los gobiernos que ignorando (o queriendo ignorar) estos fenómenos se ufanan de haberla controlado o disminuido, y que en realidad solo llevan cada día más miseria a sus pueblos. Entre estos fenómenos que hacen que la demanda disminuya podemos contar:

a. Políticas salariales.

b. Impuestos

c. Desempleo

d. Disminución o estancamiento de exportaciones

e. Aumento de importaciones de bienes de consumo

f. Incertidumbre para los inversionistas

g. Déficit fiscal y endeudamiento para gasto público

Debe de notarse que los diversos fenómenos o causales descritos no operan de manera independiente sino que por el contrario normalmente poseen estrechas relaciones y que en general, todo el juego económico es un sistema de muy dinámicos elementos en donde influye hasta la idiosincrasia del pueblo.

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1.10 SISTEMAS DE VALOR CONSTANTE

Con la buena intención (¿saben que cosa esta empedrada de buenas intenciones?) de mantener constante el poder adquisitivo de la moneda, en primera instancia para favorecer la adquisición de vivienda y en segunda motivar el ahorro dentro de un sistema inflacionario tratando de compensarlo, es posible crear sistemas de valor constante que funcionan como una divisa paralela a la moneda interna y que se encuentra dedicada a ciertos fines específicos (no es físicamente circulante) dentro de un marco legal y constitucional.

****Ver más acerca de sistemas de valor constante en Colombia****

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1.11 DEVALUACION

Como consecuencia de la disminución del valor de la moneda frente a otras divisas (normalmente Dólar de Estados Unidos o Euro), o respectiva cotización de patrones internacionales como el oro, se establece que la devaluación es el aumento de la cotización de la divisa patrón frente a la moneda local. Puede establecerse como una tasa anual (normalmente el gobierno publica este indicador) que se debiera considerar en la toma de decisiones sobre la renta de cualquier inversión realizada en monedas débiles.

El fenómeno devaluativo se presenta normalmente en muchos de los países no poseedores de la divisa patrón como circulante oficial, pero con diferente intensidad variando de acuerdo a entre otras las siguientes causas generadoras:

a. Políticas estatales normalmente recomendadas (impuestas) por organismos económicos internacionales.

b. Balanza de cambio negativa consecuente con mas importaciones que exportaciones.

c. Baja competitividad y participación del producto interno en los mercados internacionales.

d. Especulación en el mercado interno de divisas.

e. Condiciones de incertidumbre para los inversionistas externos.

Recuérdese que tanto para el caso de inflación como el de devaluación hemos citado solo algunas de las causales no todas y que en general estos fenómenos se presentan por la interacción de diversos elementos simultáneamente.

Es de anotar adicionalmente que un tipo de cambio alto (valor de cotización de la unidad patrón alto) no implica devaluación, la devaluación la implica el incremento del tipo de cambio a medida que pasa el tiempo.

Es posible mediante políticas estatales fijar el tipo de cambio con el ilusorio fin de mantener la devaluación baja, ignorando los juegos de oferta y demanda; pero mientras no se controlen las causales de la misma, la realidad nos ha demostrado en diversos países que esto solo será el preámbulo de crisis económicas con acelerada devaluación.

La simple utilización de la divisa patrón en el mercado interno como moneda paralela o sustitutiva de la local, tampoco es una panacea ya que mientras no se dé soluciones a las causantes reales de la devaluación como el bajo ingreso de divisas fruto del limitado comercio exterior, las divisas seguirán escapando en las importaciones produciendo disminuciones del circulante y deprimiendo por ende la banca y el mercado interno con las respectivas consecuencias productivas.

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1.12 TASAS COMBINADAS

Tal como lo hemos anotado anteriormente, normalmente las inversiones están sujetas a mas de un fenómeno que podemos representar por un tasa en los diversos cálculos pertinentes. Es decir, sobre un capital invertido pueden obrar (o ser aplicadas) en forma simultanea (combinada) mas de una tasa e incluso puede ser conveniente determinar una tasa equivalente a la combinación de las mismas. Para tal efecto diremos que una determinada tasa ie será equivalente a la aplicación de otras dos tasas i1 e i2 en forma combinada, si al invertir una misma cantidad luego de un mismo lapso de tiempo se produce la misma rentabilidad y por ende el mismo valor futuro.

La situación se plantea de la siguiente forma:

1. F = P(1+ ie)n

2. F = P(1+ i1)n (1+ i2)n

Dado que F de la primera es igual al F de la segunda obtenemos:

P(1+ ie)n = P(1+ i1)n (1+ i2)n

En donde al dividir por P se obtiene:

(1+ ie)n = (1+ i1)n (1+ i2)n

Sacando raíz n:

(1+ ie) = (1+ i1) (1+ i2)

Despejando ie se obtiene:

ie = i1 + i2 + (i1)(i2)

Si el fenómeno que estamos estudiando implica la obtención de uno de los componentes incluidos en la combinación, también podemos efectuar el despeje y encontrar por ejemplo para i1:

ie = i1 + i2 + (i1)(i2)

ie - i2 = i1 + (i1)(i2)

ie - i2 = i1 (1+ i2)

i1 = (ie - i2 )/(1+ i2)

 

Ejemplo 6

Invierto parte de mis ahorros en una institución que paga el 10% efectivo anual, considerando que en el país la inflación es del 6% para el mismo año, ¿cual será mi rentabilidad real?

La situación implica que estoy efectuando depósitos en una institución que paga el 10%, esto no quiere decir que yo esté ganado el 10% pues mis ahorros están perdiendo capacidad adquisitiva a un ritmo del 6% anual, de manera que lo que me paga el banco en alguna forma debe compensar esta perdida y entregarme alguna ganancia (rentabilidad real)

Sean:

iR = La renta que realmente obtengo por mi dinero

iE = La renta que paga la institución financiera. (En el problema 10%)

if = La tasa de inflación, normalmente denominada tasa deflactada. (Pésima conjugación) para nuestro caso 6%

iE = iR + if + (iR)(if)

iR = (iE - if )/(1+ if)

iR = (0.1 - 0.06) / (1 + 0.06)

iR = 0.04 / 1.06

iR = 0.0377

Lo anterior nos indica que la rentabilidad que nos ofrece la institución financiera es simplemente ilusoria ya que solamente recibimos una rentabilidad (real) del 3.77%, el resto solo servirá para compensar los efectos inflacionarios que desvalorizan mi inversión.

 

Ejemplo 7

Retiro $10'000.000 de mi cuenta local, los convierto a dólares al cambio de día de $2.660 por dólar y abro una cuenta de ahorros en una entidad bancaria de Islas Caimán donde me ofrecen el 7% de rentabilidad. Luego de un año retiro mi dinero y lo repatrío convirtiéndolo de nuevo a moneda local. Si la devaluación durante el año que mi dinero estuvo afuera fue del 14%, ¿ cual será el monto final de mi dinero en moneda local ?

La situación es fácilmente entendible de acuerdo al siguiente diagrama:

a. El dinero simplemente se convierte a dólares a la tasa del día, el resultado es SU$3.759,39

b. El dinero en dólares renta en el exterior durante un año, el resultado es SU$4.022,55

c. El cambio oficial varia durante el citado año el 14% y el factor se convierte en $3032,4 por cada dólar.

d. Los dólares nuevamente son convertidos a moneda local al nuevo cambio oficial. El resultado es $12'198.000.

Aaahhhh.... pero cierto que estábamos en un ejemplo de tasas combinadas, que tal la siguiente expresión:

F = P(1+ iR)n (1+ iD)n

Donde iR representa la renta y iD representa la devaluación:

F = $10'000.000(1+ 0.07)1 (1+ 0.14)1

F = $12'198.000

El método es mas rápido aun cuando no tan claro. Nótese que para el caso de evaluar alternativas de inversión podría ser interesante encontrar una tasa equivalente a los efectos de renta y devaluación expuestos.

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